Homomorphic Encryption

📌 동형암호(Homomorphic Encryption)

• 동형사상(Homomorphism):
  
  • 두 대수 구조(예: 군, 환, 체) 사이의 연산 구조를 보존하는 함수. → f(a∗b)=f(a)∘f(b)형태.
• 동형암호의 개념
  
  • 평문에서의 연산(+, ×)이 암호문에서도 대응되는 연산(⊕, ⊙)으로 가능.
    • Dec(Enc(m1) ⊛ Enc(m2)) = m1 ∗ m2
  • 즉, 암호문 상태에서 연산을 수행해도 복호화하면 올바른 결과가 나옴.
• 정의
  
  • 임의의 회로(산술회로/논리회로)를 암호화된 상태에서 계산할 수 있는 암호 기법.
    • 구성: (KeyGen, Enc, Eval, Dec)
    • 조건: 정확성(Correctness), 안전성(Security: IND-CPA)

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📌 동형암호의 특징

• 정확성(Correctness): 암호화/연산 후 복호화하면 원래 연산 결과와 동일해야 함.
• 안전성(Security): IND-CPA(선택 평문 공격에 대한 안전성) 보장 필요.
• 성질: 공용키 기반 암호의 확장으로, 동형연산 알고리즘이 추가되더라도 IND-CPA 안전성을 유지함.

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📌 동형암호 발전 단계

1. LWE 기반 암호
2. Ring-LWE 기반 공개키 암호 (PKE)
3. Ring-LWE 기반 제한적 동형암호 (Leveled HE)
4. Ring-LWE 기반 완전 동형암호 (Fully HE)
   • 부트스트래핑(Bootstrapping) 기법 활용
5. 응용: 프라이버시 보존 머신러닝, CKKS (근사 수치 계산 지원)

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✅ 요약

• 동형암호는 "암호문 상태에서 연산 가능"한 암호 기법
• 핵심 조건: 정확성 + IND-CPA 보장
• 기반: LWE → Ring-LWE
• 발전: 공개키 암호 → 제한적 동형암호 → 완전 동형암호 → 머신러닝 응용